44从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换
对于模拟滤波器，已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器，切比雪夫滤波器等，每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：
也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计，设计过程如下：频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本方法，着重讨论双线性变换法。双线性变换法由模拟原型设计数字滤波器的四个步骤1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率ωk。2）由变换关系将ωk映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值Ωk。3）根据Ωk设计模拟滤波器的Has。4把Has变换成数字滤波器传递函数Hz。低通变换例1设采样周期T250μsfs4khz设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器其3dB截止频率fc1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解a脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc2πfc设计Has。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为：以sΩ代替其归一化频率，得：
也可以查表得到巴特沃兹多项式的系数，之后以sΩ代替归一化频率，即得Has。将Ωc2πfc代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。为进行脉冲响应不变法变换，计算HaS分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有将上式系数代入数字滤波器的传递函数：Si：极点并将ΩcωcT代入，计算得：
合并上式后两项，并将
代入，计算得：
f可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T使H（Z）只与ωc有关，即只与fc和fs的相对值fcfs有关，而与采样频率fs无直接关系。例如，fs4KHZfc1KHZ与fs4KHZfc10KHZ的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设r