所以，
fxxarcta
xl
1x2
∞
x∑
0
1
2
1
x2
1
1∞12
x∑2
1


∑
0
∞
1
2
1
x
2
2
1
x2
1∑
02
1
∞
∞112
2
∑1x2
12
2
0
∑
1
x2
22
12
2
0
∞
1≤x≤1
第
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5
f第二学期高等数学期末考试试卷（B卷）答案
⑵
1
幂级数∑x2
2的收敛域为11．
02
12
2
∞
⑶令x1，则有
1
2∞1
∑
2
1∑2
2
1
1
1
∞
π12f121arcta
1l
1122l
242
（本题满分七．本题满分10分）（求微分方程xy′l
xyxl
x1的通解．解：该方程为一阶线性微分方程y′因此，Px


π
2
l
2．
1，xl
x
1l
x1yxl
xl
xl
x1Qx．l
x
代入一阶线性微分方程的求解公式，有
ye

11∫xl
xdxl
x1∫xl
xdx∫edxCl
x

1l
x1l
xdxC∫l
xl
x
1l
x1dxCl
x∫1xl
xCl
x
所以，原方程的通解为y


1xl
xCxCl
xl
x
第
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6
f第二学期高等数学期末考试试卷（B卷）答案
（本题满分八．本题满分10分）（
∞
讨论级数
∑1
1


l
∞

1的绝对收敛性与条件收敛性．


解：⑴因为级数
∑1
1
l

1
1为交错级数，u
l
．由于，

u
1u
l

2
l
22
0
2
1l
l
1
22
1
12
→∞
→∞
所以数列u
单调减少而且limu
liml
因此由Leib
iz判别法知，级数
∞

10．


∑1
1
∞
∞
l

1收敛．


⑵讨论级数

1
1k1
其前∑1l
∑l
．
项部分和为s
∑l
k
1
1k1
l
2l
1l
3l
2l
4l
3Ll
1l
l
1→∞
所以，级数

→∞

∑1
1
∞
l

∞
1
1发散．∑l

1
综上所述知，级数
∑1
1
∞


l

1条件收敛．

（本题满分九．本题满分8分）（设函数fu具有二阶连续的导函数，而且zfexsi
y满足方程


2z2z2e2xz，2xy
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f第二学期高等数学期末考试试卷（B卷）答案
试求函数fu．
x解：设uesi
y，则有
zzf′uexsi
y，f′uexcosyxy
所以，
2zf′′ue2xsi
2yf′uexsi
y2x
2zf′′ue2xcos2yf′uexsi
yx2
代入方程
2z2z2e2xz，2xy
得r