k
zx
y，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试求x
x
uuuyz．xyz
解：
uzkxk1Fxx
yzkxF1′xx
yzzk2xF2′xxxyx
yyxx2
zkxk1FxuzxkF2′yxuzxkF1′zx
所以，
yzk2zxF1′xx
yzk2yxF2′xxyxyx
y1zk1xF2′xxxy1zk1xF1′xxx
x
uuuyzxyz
zxkxk1Fx
yzk2zxF1′xx
yzk2yxF2′xxyx
yx
zyxk1F2′x
yzk1zxF1′xx
第
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3
f第二学期高等数学期末考试试卷（B卷）答案
zkxkFx
yx
（本题满分四．本题满分8分）（
计算二重积分I
x∫∫ex2y2≤4
2
y2
dxdy的值．
解：作极坐标变换：xrcosθ
yrsi
θ，则有
I
x∫∫ex2y2≤4
2
y2
dxdy∫dθ∫errdr
2
2π
2
0
0
122πer2
2
πe41．
0


（本题满分五．本题满分8分）（某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为
cx
yx22y2xy
（万元）
若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数cx构造辅助函数
y在条件xy8下的最小值
yx22y2xyλxy8
Fx
解方程组
Fx′2xyλ0Fy′x4yλ0F′xy80λ
解得
λ7x5y3
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本
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f第二学期高等数学期末考试试卷（B卷）答案
最小，最小成本为
c53522×325×328（万）
（本题满分六．本题满分10分）（
⑴将
fxxarcta
xl
1x2展开为x的幂级数；
⑵指出该幂级数的收敛域；⑶
1
的和．求级数∑
1
2
1
∞
解：⑴因为arcta
x
x
′
∞1
∑1x2
21x
0
x1，且arcta
00，

∞∞1x2
1∞
2
2
所以，arcta
x∫∑1tdt∑∫1tdt∑
00
02
10
0x
1x≤1
11∞12
而l
1xl
1x2∑x22
1
2




1≤x≤1
r