艇的最高航行速度只能达到30海里小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解：如图，由（1）得OC103AC10故OCAC且对于线段AC上任意点P有OP≥OCAC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，
10
f设∠CODθ0θ90则在RtCOD中，CD103ta
θ，OD
oo
103，由于从出发到相遇，cosθ
轮船与小艇所需要的时间分别为t
10103ta
θ10310103ta
θ103和t，所以，解30vcosθ30vcosθ
得v
1533ooo又v≤30故si
θ30o≥，从而30≤θ90由于θ30时，θ取得最小ta
osi
θ302310103ta
θ2o，于是当θ30时，t取得最小值，且最小值为。此时，OAB在3303
o
值，且最小值为
中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。江苏卷）（2010江苏卷）17某兴趣小组测量电视塔AE的高度H单位：m，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4m，仰角∠ABEα，∠ADEβ。1该小组已经测得一组α、β的值，ta
α124，ta
β120，请据此算出H的值；2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）α与β之差，使较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，αβ最大？（1）解：
HHHhta
βAD，同理：AB，BD。ta
βta
αta
βAD
ADABDB，故得
HHhhta
α4×124，解得：H124。因此，算出的ta
βta
αta
βta
βta
α124120
电视塔的高度H是124m。
HHhHhta
β，dADDBdHHhta
αta
βhdhddta
αβ21ta
αta
β1HHhdHHhdHHhdddHHhd≥2HHh，（当且仅当dHHh125×121555时，取等号）d
（2）由题设知dAB，得ta
α故当d555时，ta
αβ最大。因为0βα最大。故所求的d是555m。
11
π
2
，0αβ则
π
2
，所以当d555时，βα
f江苏卷）（2010江苏卷）23已知△ABC的三边长都是有理数。1求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数
，cos
A是有理数。
（1）设三边长分别为abc，cosA解：
b2c2a2，∵abc是有理数，b2c2a2是有理数，分2bcb2c2a2必为有理数，∴cosA是有理数。2bc
母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性r