几何证明中常用辅助线
一中线倍长法例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD1ABAC2
分析：要证明AD1ABAC，就是证明ABAC2AD，也就是证明两条线2
段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论ABAC2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DEAD，连CE，则AE2AD。在△ADB和△EDC中，
ADDE
A
∠ADB∠EDC
BDDC
∴△ADB≌△EDCSAS∴ABCE又在△ACE中，ACCE＞AE
∴ACAB＞2AD，即AD1ABAC2
B
D
C
E
小结：1涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习ABC中，AD是BAC的平分线，且BDCD，求证ABAC
A
B
C
D
f例2中线一倍辅助线作法
A
△ABC中AD是BC边中线
B
C
B
D
A
方式1：延长AD到E，
使DEAD，
C
连接BE
D
方式2：间接倍长
E
A
A
作CF⊥AD于F，
延长MD到N，
F
作BE⊥AD的延长线于E
M
使DNMD，
B
D
C连接BE
连接CD
B
D
C
E
N
例3：△ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围
例4：已知在△ABC中，ABAC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且
DFEF，求证：BDCE
A
D
B
F
C
E
课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长
BE交AC于例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，
A
D、E在BC上，且DEEC，过D作DFBA交AE于点F，
DFAC
FA
E
求证：AE平分BAC
F
B
D
C
B
D
E
C
第1题图
f课堂练习：已知CDAB，∠BDA∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C∠BAEA
B
ED
C
作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
A
D
BE
C
F
2、已知：如图，ABC中，C90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC
于T，过D作DEAB交BC于E，求证：CTBE
A
M
D
B
ETC
f3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC
于F，求证：AFEF
A
FE
B
D
C
4：已知CDAB，∠BDA∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C∠BAEA
B
ED
C
5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
A
（二）截长补短法
D
BEr