抛物线与直线
由动点生成的特殊三角形问题
知识点归纳
抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
经典例题
【例1】如图，抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．思路点拨对于（3）只需求出P点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。
【例2】已知抛物线ykx2kx3k，交x轴于AB两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．
2
（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．思路点拨对于（2），设P点坐标为ab，寻找相似三角形，建立a、b的另一关系式，解联立而得到的方程组，
可求出a、b的值。
1
f【例3】抛物线y
1x123与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．4
（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；②若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
思路点拨
对于（2），解题的关键是求出CQ
的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现C、D、Q、E四点共圆，可使问题获得简解。
【例4】如图1，抛物线yaxbxca0的顶点为C14，交x轴于AB两点，交y轴于点D，其中点B的
2
坐标为30．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使DGHF四点r