抛物线与直线
由动点生成的特殊三角形问题
知识点归纳
抛物线与直线形的结合表现形式之一是,以抛物线为载体,探讨是否存在一些点,使其能够成某些特殊三角形,有以下常见的基本形式:(1)抛物线上的点能否构成等腰三角形;(2)抛物线上的点能否构成直角三角形;(3)抛物线上的点能否构成相似三角形;解这类问题的基本思路:假设存在,数形结合,分类归纳,逐一考察。
经典例题
【例1】如图,抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且ACBC.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出ABC三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.思路点拨对于(3)只需求出P点纵坐标,将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。
【例2】已知抛物线ykx2kx3k,交x轴于AB两点(A在B的左边),交y轴于C点,且y有最大值4.
2
(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使PBC是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.思路点拨对于(2),设P点坐标为ab,寻找相似三角形,建立a、b的另一关系式,解联立而得到的方程组,
可求出a、b的值。
1
f【例3】抛物线y
1x123与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.4
(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.①若含45角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;②若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
思路点拨
对于(2),解题的关键是求出CQ
的长。由条件出发,构造全等三角形或相似三角形,而能发现C、D、Q、E四点共圆,可使问题获得简解。
【例4】如图1,抛物线yaxbxca0的顶点为C14,交x轴于AB两点,交y轴于点D,其中点B的
2
坐标为30.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使DGHF四点r