向量数乘运算及其几何意义
命题方向1向量的数乘运算若3m＋2
＝a，m－3
＝b，其中a、b是已知向量，求m、
分析把已知条件看作向量m、
的方程，联立方程组求得m、
3m＋2
＝a，解析把已知中的两等式看做关于m、
的方程，联立方程组m－3
＝b，
解得
32m＝a＋b，111113
＝11a－11b规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．命题方向2向量共线定理的应用→→→已知两个非零向量e1、e2不共线，若AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2求证：A、B、D三点共线．分析
→→→→证明∵AD＝AB＋BC＋CD＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
→＝12e1＋18e2＝62e1＋3e2＝6AB，
→→∴AD∥AB又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
1
f规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λaa、b为这三点构成的其中任意两个向量．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．命题方向3向量在平面几何中的探究应用平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．解析已知在ABCD中，F为DC的中点，E为AF与BD的交点，求证：E为BD的一个三等分点．→→→→证明：如图，设实数λ、μ满足AE＝λAF，BE＝μBD
→→→→→∴AE＝AB＋BE＝AB＋μBD，→→→∴λAF＝AB＋μBD→→→∵BD＝AD－AB，→→→→→→→11AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋AB，22→→→→→1∴λAD＋AB＝AB＋μAD－AB．2→→1∴λ－μAD＝1－μ－λAB2→→∵AB与AD不共线，λ－μ＝0，∴11－μ－λ＝02→→→2∴BE＝μBD＝BD3∴E为BD靠近D的一个三等分点．2λ＝，3，∴2μ＝3
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f同理可证，C与AB中点的连线和BD的交点也为BD靠近B的一个三等分点．综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线．→→→→1规律总结：在上述证明过程中，由AB与AD不共线及λ－μAD＝1－μ－λAB，知必有λ2→→1－μAD＝1－μ－λAB＝0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线2的条件解题的方法．命题方向4共线向量与三点共线问题
设两个非零向量a与b不共线，→→→1若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3a－b，求证：A、B、D三点共线；r