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第27炼三角函数的值域与最值
一、基础知识
1、形如yAsi
x解析式的求解：详见“函数yAsi
x解析式的求解”一
节，本节只列出所需用到的三角公式
（1）降幂公式：cos21cos2si
21cos2
2
2
（2）2si
cossi
2
（3）两角和差的正余弦公式
si
si
cossi
cos
si
si
cossi
cos
coscoscossi
si

coscoscossi
si

（4）合角公式：asi
bcosa2b2si
，其中ta
b
a
2、常见三角函数的值域类型：
（1）形如yAsi
x的值域：使用换元法，设tx，根据x的范围确定t的范
围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x的三角函数值，进而得到值域
例：求
f

x

2si


2x

4


x


4

4

的值域
解：设t2x4
当
x


4
4

时，t

2x

4


34
4

si
t

22
2
2

fx22
（2）形如yfsi
x的形式，即yft与tsi
x的复合函数：通常先将解析式化简为
同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
例：求
f

x

si

x

cos2
x

2
x


6

23

的值域
解：fxsi
x1si
2x2si
2xsi
x1
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设tsi
x
x


6

23

t


12
1
y

t2

t

1


t

12
2


34

y


34
3
，即
f

x

的值域为

34

3
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6）二、典型例题
例1：已知向量acosxsi
x3cosxbcosx3si
xsi
xfxab
（1）求函数fx的单调递增区间
（2）当
x


6

4

时，求
f

x
的取值范围
解：（1）fxabcosxcosx3si
xsi
x3cosxsi
x
cos2xsi
2x23si
xcosx
cos2x
3
si

2x

2
cos

2x
r