高中数学311两角和与差的余弦互动课堂学案苏教版必修4
疏导引导1两角差的余弦公式把cos（αβ）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究，如下图，设αβ的终边分别与单位圆交于点P1（cosαsi
α）P2cosβsi
β由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只考虑0≤αβ＜π的情况
设向量aOP1cosαsi
αbOP2cosβsi
β则ababcosαβcosαβ另一方面，由向量数量积的坐标表示，有abcosαcosβsi
αsi
β∴cosαβcosαcosβsi
αsi
β于是，对于任意的α、β都有上述式子成立2两角和的余弦公式比较cos（αβ）与cos（αβ）并且注意到αβ与αβ之间的关系：αβαβ则由两角差的公式得：cos（αβ）cos［αβ］cosαcosβsi
αsi
βcosαcosβsi
αsi
β，即cosαβcosαcosβsi
αsi
β3对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的α、β都是任意角（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧如2ααβαβ，ααββααββ活学巧用【例1】利用公式CαβCαβ证明下列等式1cosπαcosx2cos
3αsi
α2333αcoscosαsi
si
α222123cosβα、β均为第二象限角，求cos（αβ）cosαβ135
解析（1）cos（πα）cosπcosαsi
πsi
αcosα0si
αcosα2cos
0cosαsi
αsi
α【例2】已知si
α
f解析由si
α
12α为第二象限角13
2
∴cosα1si
又由cosβ
1
12251313
3β为第二象限角5
2
∴si
β1cos
12
35
45
∴cosαβcosαcosβsi
αsi
β
5312463××135135653123【例3】已知＜β＜α＜cosαβsi
αβ求cos2α与cos2β413523解析：∵＜β＜α＜423∴0＜αβ＜π＜αβ＜24
∴si
αβ1cos1
2
1225131335
2
cosαβ1si
1
2
45
∴cos2βcos［αβαβ］cosαβcosαβsi
αβsi
αβ
4123563××51351365
cos2βcos［αβαβ］cosαβcosαβsi
αβsi
αβ
412356351351365
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