2010届高三数学精品讲练：三角函数
一、典型例题例1、已知函数fxlog
12
si
xcosx
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性。分析：（1）x必须满足si
xcosx0，利用单位圆中的三角函数线及2kx2k5，k∈Z
442k54
∴函数定义域为2k
4
，k∈Z
∵
si
xcosx
2si
x
4

∴当x∈2k
40si
x41
2k
54

时，
∴∴
0si
xcos
12
2
ylog
12
2
∴函数值域为1）
2
（3）∵fx定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴fx不具备奇偶性（4）∵fx2πfx
f∴函数fx最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分si
xcosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分si
xcosx的符号，如图。例2、化简2分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵
1si
si
2
1si

21cos
，α∈（π，2π）
2
cos
2
2
2
2si

2
cos
2
si

2
cos
2

2
21cos212cos
2
14cos
2
2
∴原式2si

2
cos
2
2cos
2

∵α∈（π，2π）∴∴
22220
cos
当9
24

32

时，si

2
cos
2
0
∴原式2si
当3
4232
22
时，si
2
2
cos
2
0
∴原式2si
∴原式
2
4cos
25si

2
arcta
2
32si
2225si
arcta
22
32
2
f注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为si
是欲擒故纵原则。一般地有
1cos22cos
2
2
cos
2
2
，
1si
2si
cos
，
，
1cos2
2si

。
2、三角函数式asi
xbcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为
a
2
b
2
si
x
（取arcta
b）是常用变
a
形手段。特别是与特殊角有关的si
±cosx，±si
x±
3
cosx，要熟练掌握变形结论。例3、求
si
3
2
140
0

1cos140
20

12si
10
0
。
分析：原式3cos
si
22
140140
00
si
cos
0
2
2
140
0
0

12si
10
0
140

3cos140
si
1403cos140si
40
0
0
0
si
140
0
cos401
0
2

12si
10
0

4si
8014si

0
si
200
2
0

80
0
2si
10
0
r