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所需的总费用为q元,那么每小
f时所需的总费用是0006v3+96元,而航行1海里所需时间为1v小时,所以,航行1海里的总费用为:q=1v0006v3+96=0006v2+9v6q′=0012v-9v62=0v0212v3-8000,令q′=0,解得v=20∵当v20时,q′0;当v20时,q′0,∴当v=20时,q取得最小值,即速度为20海里时时,航行1海里所需费用总和最小.要点二面积、容积的最值问题例2如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分,这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm怎样确定广告的高与宽的尺寸单位:cm,能使矩形广告面积最小?
解设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20cm,y-225cm,其中x20,y25两栏面积之和为2x-20y-225=18000,由此得y=1x8-02000+25广告的面积S=xy=x1x8-02000+25=1x8-00200x+25x,∴S′=18000x-x-20202-x+25=-x3-60200020+25令S′0得x140,令S′0得20x140
f∴函数在140,+∞上单调递增,在20140上单调递减,∴Sx的最小值为S140.当x=140时,y=175即当x=140,y=175时,S取得最小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.规律方法1解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.2利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系:分析实际问题中各量之间的关系;②列模型:列出实际问题的数学模型;③写关系:写出实际问题中变量之间的函数关系y=fx;④求导:求函数的导数f′x,解方程f′x=0;⑤比较:比较函数在区间端点和使f′x=0的点的函数值的大小,最大小者为最大小值;⑥结论:根据比较值写出答案.跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解
如图,设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2,由V=πR2h,得h=πVR2,则SR=2πRπVR2+2πR2=2RV+2πR2,
令S′R=-2RV2+4πR=0,解得R=32Vπ,
从而
h=πVR2=π

V3
V
=2
3
4πV=2
3
2Vπ,即h=2R

因为SR只有一个极值,所以它是最小值.
所以,当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.
要点三成本最省,利润最大问题
f例3甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米时,已知汽车每小时的运输成本以元为单位由可变部分和固定部分r
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