14生活中的优化问题举例
学习目标1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识链接
设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a＋2b≥aba，b＞0答设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为fx＝xc－x＝cx－x20＜x＜c，f′x＝c－2x令f′x＝0，即c－2x＝0，得x＝2c故当x＝2c时，fx有最大值f2c＝c42，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14若设这两个正数分别为a，b，则有a＋4b2≥aba＞0，b＞0，即a＋2b≥aba，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立．预习导引1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是优化问题→用函数表示的数学问题
优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
f要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解
如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为xkm，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a50－x＋5ax2＋4020x50．∴y′＝－3a＋x25＋ax402令y′＝0，解得x＝30，x＝－30舍去在050上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20km．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝kv3，其中k为比例系数k≠0，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝1603＝0006，于是有p＝0006v3又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里r