初中数学勾股定理与数学思想方法
勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。因此，勾股定理体现了数形结合的思想。除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见。例1（河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm）。将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，ACCD，BDCD。请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图3。
ACBDACCDBDCD四边形ACDB是矩形。
CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，OECDOEAB
PAPBPEACABCD16PA8ACBD4PE4
在RtOAP中，由勾股定理得OA2PA2OP2，即OA282OA42，解得
fOA10。所以这种铁球的直径为20cm。2分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。在这里充分体现了分类讨论的思想。数学里的许多问题，只有用分类讨论的思想才能保证解答完整准确，做到“不漏不重”。
例2（山东临沂市2005）ABC中，BCaACbABc，若∠C90°，如图4，根据勾股定理，则a2b2c2。若ABC不是直角三角形，如图5和图6，请你类比勾股定理，试猜想a2b2与c2的关系，并证明你的结论。
解：若ABC是锐角三角形，则有a2b2c2。若ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2b2c2。证明：①当ABC是锐角三角形时，如图5，过点A作ADCB，垂足为D，设CD为x，则有DBax。根据勾股定理，得b2x2c2ax2，即b2x2c2a22axx2。
a2b2c22axr