1e1o1eo2

2


第2页（共9页）
f1e因此，lim
1
e。
→∞
2
2由泰劳公式有1l
a11a
e
1l
ao
→∞
1l
b11b
e
1l
bo
→∞
1l
c11c
e
1l
co
→∞
因此，11
1111ab
c
1l
3abco
→∞3



111

abc3

11l
3abco1



令α

131l
abco，上式可改写成

111a
b
c
3
1α1α
α

1


显然，所以，
1α

α

→e
→∞，

α
→l
3abc
→∞
111
abc
lim
→∞3
3abc


三、（10分）设fx在x1点附近有定义，且在x1点可导，并已知f10f′12求
lim
x→0
fsi
2xcosxx2xta
xfyf1fylimf12。y→1y1y1
解由题设可知：
lim
y→1
令ysi
2xcosx，那么当x→0时，ysi
2xcosx→1，故由上式有
lim
x→0
fsi
2xcosx2si
2xcosx1
第3页（共9页）
f可见，
fsi
2xcosxsi
2xcosx1fsi
2xcosxlimlim×x→0x→0si
2xcosx1x2xta
xx2xta
x
2limsi
2xcosx11x→0x2xta
x2
最后一步的极限可用常规的办法洛比达法则或泰劳展开求出。四、（10分）设fx在0∞上连续，并且无穷积分
∫
∞
0
fxdx收敛求lim
1yxfxdxy→∞y∫0
解设
∫
∞
0
fxdxl，并令Fx∫ftdt。
0
x→∞
x
这时，Fxfx，并有limFxl。对于任意的y0，我们有
1y1y11y1yxy∫0xfxdxy∫0xdFxyxFxx0y∫0FxdxFyy∫0Fxdxy
根据洛比达法则和变上限积分的求导公式，不难看出
1yFxdxlimFyly→∞y∫0y→∞lim
因此，lim
1yxfxdxll0。y→∞y∫0
五、（共12分）设函数fx在01上连续，在01内可微，且f0f10f1证明：
1存在一个ξ∈1使得fξξ；2存在一个η∈0ξ使得fηfηη1
12
12
证明1令Fxfxx则Fx在01上连续，且有
11F0F11022
所以，存在一个ξ∈
11，使得Fξ0，即fξξ。2
x2令Gxefxx，那么G0Gξ0。
这样，存r