首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案决赛试卷参考（非数学类，2010）非数学类，2010）
1）求极限lim
→∞
∑1
si

k1

1
k
kπ
2

2）计算
∫∫
∑
axdydzza2dxdyxyz
222
，其中∑为下半球面zayx的上侧，a为大于0的
222
常数3）现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4）已知fx在内满足f′x
1142
1，求fxsi
xcos3x
3
解1）记）

1kkπS
∑1si
2，则
k1

11kkπS
∑12o2

k1

π

2
∑k
∑k
k1
3

1
π

1k1
2
1o

→
π
2

π
3

2）将Σ（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。）
5π6
I1
1222∫∫axdydz2Dayzdydz∫∫aΣyz
其中Dyz为yoz平面上的半圆y2z2≤a2z≤0。利用极坐标，得
I12∫dθ∫
π
2π
a
0
2a2r2rdrπa33
I2
1122222∫∫zadxdyaDaaxydxdy，∫∫aΣxy
其中Dxy为xoy平面上的圆域x2y2≤a2。利用极坐标，得
I2
a12ππ32222∫0dθ∫02a2aarrrdr6a。a


第1页（共9页）
fa3。23）设圆柱容器的高为h上下底的径为r，则有）Vπr2hV或h2。πr2bV22所需费用为Fr2aπr2bπrh2aπrr2bV显然，Fr4aπr2。rbV3那么，费用最少意味着Fr0，也即r2aπhVa这时高与底的直径之比为。32r2πrb
4）由si
3xcos3x）
因此，II1I2
π
1ππcosx12si
2x得442
I2∫
cosx12si
x44
2
π
dx
π
，令u
π
4
x，得
I2∫
dudsi
u2∫22cosu12si
ucosu12si
2u
令tsi
u2∫

dt2dt2dt2∫1t2∫12t21t12t3
2
211t2l
1t2arcta
2tC3
1si
x22π4l
arcta
2si
xC。π641si
x34
二、（共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）求下列极限
111

1
abc1lim
1e；2lim
→∞
→∞
3
π
其中a0b0c0


解1我们有
111o1o1111111ee2
eee2r