西安交通大学考试题
复变函数与积分变换B课程复变函数与积分变换卷
系别考试日期2006
成绩
年1月
日
专业班号姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）1、设ab是实数，函数fzaxybx2y2i在复平面解析，求ab
1、解：CauchyRiema
方程，ay2y，ax2bx，解出a2，b12、求1i2i，并指出其主值
解：1i2iexp2iL
1iexp2il
2iArg1i
exp2il
2iexpe
4
π2
π
4
2kπ
π
2
4
πil
2
π
cosl
2isi
l
2；其中
∈Z；
其主值为e2cosl
2isi
l
2
ezsi
zdz，其中Cz1，方向为正向z2C2、解：用Cauchy积分公式，ezsi
zz2∫z2dz2πiesi
zz22πiesi
2C
e2z64、计算∫dz，其中Cz1，方向为正向z3C
π
3、计算∫
f解：用高阶导数公式，e2z62πi2πi2z2∫z3dz2e6z0244πiC
i
5、判别级数∑的收敛性
1

∞
π
π
π，isi
cosisi
2222
π
π1∞cos∞si
∞si
kπ∞coskπ2∑
2和∑
2的收敛性分别与∑2k和∑2k1的相同，
1
1k1k1由高等数学中的Leib
iz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
解：i
cos
π
i
∑
收敛。
1
6、求幂级数∑
∞

5
z的收敛半径5
1
∞
解：记c

5c，则
→1（
→∞），所以收敛半径为1。5
c
1
z27、求fzz的奇点，并指出奇点类型e1解：gzez1的零点为2kπi（k∈Z），显然它们都是孤立零点；而g2kπie2kπi1≠0，所以这些点都是gz的1级零点；但其中z0是分子z2的2级零点，所以，z0是函数f的可去奇点，其他的2kπi（k∈Zk≠0）都是f的1级极点ezsi
z8、求fz在孤立奇点z0处的留数z2解：z0是f的1级极点，所以
ezsi
zezsi
zResfz0Res0limz1z→0z2z2
f9、求积分∫
C
zdz，其中Cz2，方向为正向z1
2
2
z在复平面上有两个奇点i，i，且都包含在曲线C内；z1由留数定理，
解：fz
C
∫z
2
zzzdz2πiRes2iRes2i1z1z1
2πi
ii2πi2i2i
共
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f11、求函数ftsi
tut的Fourier变换解：Φut所以ΦftΦutΦsi
t
1πδωjπδω1δω1jω1πδω，Φsi
tjπδω1δω1，jω
12、求函数fttetsi
t的Laplace变换
解：Λsi
tr