高考专题突破五
x2y2ab
高考中的圆锥曲线问题
考点自测
1．已知双曲线2－2＝1a0，b0和椭圆
＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是169
x2
y2
椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．答案
x2y2
4
－＝13
x2y2解析由题意得，双曲线2－2＝1a0，b0的焦点坐标为7，0，－7，0，c＝7；ab
且双曲线的离心率为2×77c222＝＝a＝2，b＝c－a＝3，42a
双曲线的方程为－＝1432．已知椭圆2＋2＝1ab0与抛物线y＝2pxp0有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆2＋2＝1ab0的离心率为____________．答案2－1
x2y2
x2y2ab
2
x2y2ab
2解析因为抛物线y＝2pxp0的焦点F为，0，设椭圆另一焦点2
p
为E当x＝时代入抛物线方程得y＝±p，2
p
又因为PQ经过焦点F，所以P，p且PF⊥OF2
p
所以PE＝＋22
pp
2
＋p＝2p，
2
PF＝p，EF＝p故2a＝2c2p＋p2c＝p，e＝＝2－12a
3．若双曲线2－＝1的一条渐近线被圆x－2＋y＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实a3轴长为
x2y2
2
2
A．1B．2C．3D．6答案B
xy322解析双曲线2－＝1的渐近线方程为y＝±x，即3x±ay＝0，圆x－2＋y＝4的圆a3a
1
2
2
f心为C20，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距CD＝2－1＝3，另一方面，
2
2
xy3×2－a×023圆心C20到双曲线2－＝1的渐近线3x－ay＝0的距离为d＝＝，22a33＋a3＋a
所以233＋a
2
2
2
＝3，解得a＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2
2
4．若双曲线2－2＝1a0，b0的渐近线与抛物线y＝x＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A．3，＋∞C．13答案A解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x±x＋2＝0∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝2－8≥0，求得b≥8a，∴c＝B．3，＋∞D．13
x2y2ab
2
ba
2
ba
b2a
2
2
ca2＋b2≥3a，∴e＝≥3a

→→25．设坐标原点为O，抛物线y＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB等于A33B．－C．344D．－3
答案B解析方法一特殊值法111抛物线的焦点为F，0，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A，1，B，－1，2223→→111∴OAOB＝，1，－1＝－1＝－4224方法二设Ax1，y1，Bx2，y2，→→则OAOB＝x1x2＋y1y2由抛物线的过焦点的弦的性质知：
2
fp21x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1
443→→1∴OAOB＝－1＝－44
题型一圆锥曲线中的范围r