微分几何主要习题解答
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§1曲面的概念
1求正螺面rucosvusi
vbv的坐标曲线解u曲线为rucosv0usi
v0bv0｛00，bv0｝＋ucosv0si
v00，为曲线的直母线；v曲线为ru0cosvu0si
vbv为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a（uv）b（uv）2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。证u曲线为ra（uv0）b（uv0）2uv0av0bv00uab2v0表示过点av0bv00以ab2v0为方向向量的直线
v曲线为r｛a（u0v）b（u0v）2u0v｝｛au0bu00｝vab2u0表示过点au0bu00以ab2u0为方向向量的直线。
3．求球面racossi
acossi
asi
上任意点的切平面和法线方程。
解
r

a
si


c
osa
s
i


si



a
c
os
，
r
a
cos
si

a
cos
cos0
xacoscos任意点的切平面方程为asi
cos
acossi

yacossi
asi
si
acoscos
zasi
acos00
即xcoscosycossi
zsi
a0；
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法线方程为
xacoscosyacossi
zasi
。
coscos
cossi

si

4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此a2b2
曲面只有一个切平面。
解
椭圆柱面
x2a2

y2b2
1的参数方程为
x

cos
y

asi

z

t

rasi
bcos0

rt001
。所以切平面方程为：
xacosybsi
zt
asi
bcos00，即xbcosyasi
－ab0
0
0
1
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值
对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面
r

u
v
a3
的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
uv
数。
证
ru

10
a3
u2v
，
rv
01a3。切平面方程为：x
uv2
u

yv

uva3
z
3
。
与三坐标轴的交点分别为3u0003v0003a2。于是，四面体的体积为：uv
V13u3v3a39a3是常数。
6
uv2
§２曲面的第一基本形式
1求双曲抛物面r＝｛a（uv）b（uv）2uv｝的第一基本形式
解
ru
ab2vrv
ab2u
E

ru2

a2
b2

4v2
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F

ru
rv

a2
b2

4uvG

rv2

a2

b2

4u2
∴
错误未找到引用源。

a2b24v2du22a2b24uvdudva2b24u2dv2。
２．求正螺面rr