1，4
求CD的长。
分析：连结BD，由ABBC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD90°，可证得△ABD≌△EBD，得DEAD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。
解：延长AB、DC交于E点，连结BD
∵ABBC1AD14
∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB
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∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD∠EBD90°，又∵BDBD∴△ABD≌△EBD，∴ABBE1，ADDE4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC∠EDA，∠ECB∠EAD
∴△EBC∽△EDA，∴BCCEADAE
∴CEBCAEBCABBE111
AD
AD
42
∴CDDECE41722
例5如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB
于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？
2当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DEDF，为什么？
分析：由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO90°，问题转化为使∠OCA∠PCF∠FAH∠AFH就可以了。
2要使AD2DEDF，即使ADDF，也就是使△DAF∽△DEADEAD
解：（1）当PCPF，（或∠PCF∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PCPF进行证明，连结OC，则∠OCA∠FAH，∵PCPF，∴∠PCF∠PFC∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA∠PCF∠FAH∠AFH90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。
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2当点D是劣弧AC的中点时，AD2DEDF，理由如下：
连结AE，∵ADCD，∴∠DAF∠DEA
又∵∠ADF∠EDA，
∴△DAF∽△DEA，∴ADDFDEAD
即AD2DEDF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。
例6如图，四边形ABCD是矩形AB1BC，以BC为直径作半圆O，过点2
D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE2：1，求ta
∠ADE的值。
分析：要求ta
∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。EDEFFD，而EFEB，FDCD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。
解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，∵DE切⊙O于F，∴DFDC，EFEB，即DEDCEB，又∵AE：EB2：1，设BEx，则AE2x，DCAB3x，DEDCEB4x，在Rt△AED中，AE2x，DE4x，
∴AD23x
则ta
∠ADEAE2x3AD23x3
点拨：本题中，通过r