42
22
【解后反思】解答这类问题时，往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度，进而化归到直角三角形中，应用三角函数定义求得三角函数值．求锐角三角函数的方法：（1）直接定义法；（2）构造直角三角形；（3）借助三角函数关系求值．【关键词】圆周角定理及推论；三角函数
2
f4（四川省绵阳市，9，3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（A．
512
A
D
）
B．
514
C．
514
D．
512
E
B
C
【答案】C．【逐步提示】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是发现并证明△CBE∽△CAB，求出AE长．具体思路是：在等腰三角形ABC中求出∠ABC＝72°，∠A＝36°．又由题意知DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE，于是∠ABE＝∠A＝36°．再求得∠C＝∠BEC＝72°，所以
BC＝BE．由∠C＝∠C，∠A＝∠EBC＝36°得△CBE∽△CAB，有
的长，最后在Rt△ADE中求出cosA的值．
CBCEAE4AE＝，即＝，从而求出AECACB4AE
【详细解答】解：因为AB＝AC，∠C＝72°，所以ABC＝∠C＝72°，所以∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－72°－72°＝36°．因为DE⊥AB，D是AB中点，所以DE是线段AB的垂直平分线，所以AD＝
11AB＝×422
＝2，AE＝BE，所以∠ABE＝∠A＝36°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝72°－36°＝36°．所以∠BEC＝180°－∠CBE－∠C＝180°－36°－72°＝72°，所以∠BEC＝∠C，所以BC＝BE．因为∠C＝∠C，∠A＝∠EBC＝36°，所以△CBE∽△CAB，于是＝
CBCEAE4AE＝，即＝，解得AE＝252．在Rt△ADE中，cosACACB4AE
5121AD＝＝＝，故选择C．4AE25251
【解后反思】（1）求一个锐角的三角函数值，一般利用锐角三角函数的定义求解，即si
A＝＝
A的对边，cosA斜边
A的对边A的邻边，ta
A＝．（2）底角为72°的等腰三角形，即顶角为36°的等腰三角形，也就是A的邻边斜边
黄金三角形，它具有结论：底角平分线分黄金三角形为一个等腰三角形和一个新的黄金三角形．【关键词】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质；垂直平分线的性质．
二、填空题1山东临沂，19，3分一般地，当α，β为任意角时，si
αβ与si
α－β的值可以用下面的公式求得：si
αβsi
αcosβcosαsi
β；si
α－βsi
αcosβ－cosαsi
β．例如：si
90°si
60°30°si
60°cos30°cos60°si
30°得si
15°的值是_____________．
624【逐步提示】本题考查锐角三r