基础梳理
1．空间的角1异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b则把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角．
2直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
3二面角的平面角如图在二面角αlβ的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．2．空间向量与空间角的关系1设异面直线l1，2的方向向量分别为m1，2，l1与l2的夹角θ满足cosθ＝cosm1，lm则〈m2〉2设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，
，则直线l与平面α的夹角θ满足si
θ＝cos〈m，
〉3求二面角的大小如图①，AB、CD是二面角αβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θl→→＝〈AB，CD〉．
如图②③，
1，
2分别是二面角αβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大l小θ满足cosθ＝cos〈
1，
2〉或－cos〈
1，
2〉．三种成角π1异面直线所成的角的范围是0，2；π2直线与平面所成角的范围是0，2；3二面角的范围是0，π．易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量
1，
2时，要根
1
f据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量
1，
2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝101，b＝011，那么，这条斜线与平面所成的角是．
B．30°C．45°D．60°11解析∵cos〈a，b〉＝＝，222又∵〈a，b〉∈0，π，∴〈a，b〉＝60°答案D2．人教B版教材习题改编已知两平面的法向量分别为m＝010，
＝011，则两平面所成的二面角的大小为．A．45°C．45°135°或解析cos〈m，
〉＝B．135°D．90°
A．90°
12m
＝＝，m
1×22即〈m，
〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°135°或答案C3．2011德州月考已知向量m，
分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos1〈m，
〉＝－，则l与α所成的角为．2A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，1则si
θ＝cos〈m，
〉＝，∴θ＝30°2答案A
4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DEr