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6个等价定理
1确界定理2单调有界定性3闭区间套定理4列紧性定理（Weierstrass聚点原理）5完备性定理（Cauchy收敛原理）6紧性定理（Borel有限覆盖定理）在一般的教科书上论证它们的线路是：1（作为公理）→2→3→4→5及3→6实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重要的下面就作其中一些训练，其余留给大家自己作1．5→6即用完备性直接证明紧性2．6→1即用紧性直接证明确界定理3．6→2即用紧性直接证明单调有界定理4．6→3即用紧性直接证明闭区间套定理5．6→4即用紧性直接证明列紧性6．6→5即用紧性直接证明完备性7．3→1即用闭区间套定理直接证明确界定理8．3→2即用闭区间套定理直接证明单调有界定理9．3→5即用闭区间套定理直接证明完备性10．1→3即用确界定理直接证明闭区间套定理11．1→4即用确界定理直接证明列紧性12．1→5即用确界定理直接证明完备性13．1→6即用确界定理直接证明紧性14．4→1即用列紧性直接证明确界定理15．4→2即用列紧性直接证明单调有界定理16．4→3即用列紧性直接证明闭区间套定理
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f如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！17．4→6即用列紧性直接证明紧性定理18．5→1即用完备性直接证明确界定理19．5→2即用完备性直接证明单调有界定理20．5→3即用完备性直接证明闭区间套定理21．5→4即用完备性直接证明列紧性定理22．2→1即用单调有界定理直接证明确界定理23．2→4即用单调有界定理直接证明列紧性定理24．2→5即用单调有界定理直接证明完备性定理25．2→6即用单调有界定理直接证明紧性定理
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极限
1）数列极限存在、不存在的“N”定义
2）两边夹定理、单调有界性、Stolz定理等以及各种技巧
3）函数极限的“”定义、性质等
1．用定义证明：若
lim

x

存在，则
lim

x1

x2


x


lim

x


2．用定义证明：若x
a
y


b
，则lim

x1y


x2y
1


x
y1ab
3．设
lim

x


a
0，且x


0



1
，则
lim


x11

x21


x
1
1

a


4．设
lim

x

a且x

0

1，则lim

x1x2
x
a
5．若lim
r