高中奥林匹克物理竞赛解题方法
六、递推法
方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况即当问题中涉及相互联系的物体较多
并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式
塞题精析例1质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，
加速度变为3a；…；在
t时刻，加速度变为（
1）a，求：（1）
t时刻质点的速度；（2）
t时间内通过的总路程解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解
（1）物质在某时刻t末的速度为vtat
2t末的速度为v2tvt2at所以v2tat2at
3t末的速度为v2tv2t3atat2at3at
……
则
t末的速度为v
tv
1t
at
at2at3at
1at
atat123

at1
1
1
1at
2
2
（2）同理：可推得
t内通过的总路程s1
12
1at212
例2小球从高h0180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度
减小1
2，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程（g取10ms2）

1
f解析小球从h0高处落地时，速率v02gh060ms第一次跳起时和又落地时的速率v1v02第二次跳起时和又落地时的速率v2v022
…
第m次跳起时和又落地时的速率vmv02m
每次跳起的高度依次h1

v122g

h0
2
h2

v222g

h0
4
，
…
通过的总路程sh02h12h22hm

h0

2h0
2
1
1
2

1
4

1
2m2


h0

2h0
21

h0


2
2
11

53
h0

300m
经过的总时间为tt0t1t2tm
v02v12vm
gg
g
v012121m
g



v0
1g
1
3v018sg
例3A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长
时间可捕捉到猎物？
解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎
犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61
2
f所示所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为
个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三r