材料力学解答假设应力分量的函数形式。1假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力
o
b
x
h
q
g
yhb
图310
xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载
为零，则x02推求应力函数的形式将x0，体力fx0fyg，代入公式（224）有
对y积分，得
x

2y2

fxx

0
fx
y
（a）
yfxf1x
其中fxf1x都是x的待定函数。
（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（225），得
（b）
3
fy
d
4f
dx4
x

d
4f1
dx4
x

0
（c）
在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
两个方程要求
d
4fx
dx4

0
d4
f1
dx
x

0
fxAx3Bx2Cxf1xDx3Ex2
（d）
fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的
表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
yAx3Bx2CxDx3Ex2
（e）
（4）由应力函数求应力分量
x

2y2

fxx

0
（f）
y

2x2

fyy

6Axy

2By
6Dx2E

gy
xy


2xy

3Ax2
2Bx
C
5考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。主要边界x0上（左）：
将（f），（h）代入
xx00xyx00
xx00，自然满足
主要边界xb上，
xyx0C0
x
xb

0，自然满足
gh
（i）
4
fxyxbq，将（h）式代入，得
xyxb3Ab22BbCq
（j）
在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
b
0yy0dx
b6Dx2Edx3Db22Eb0
0
b
0yy0xdx
b6Dx2Exdx2Db3Eb20
0
b
0yxy0dx
b0
3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0
由式（i），j，（k），（l），（m）联立求得
A


qb2

Bqb
CDE0
代入公式（g），h得应力分量
x0
y

2qxb
1

3
xb


gy
xy

qb
x

3b
x

2

（k）（l）（m）
【311】设图313中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解1检验应力函数是否满足相容方程（225）设应力函数Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三
次式的应力函数总能满足相容方程（225）2由式（224）求应力分量由体力分量fx0fyg，将应力函数代入公式（224）得应力分量：
x

2y2

fxx

2Cx
6Dy
（a）
y

2y2

fyy

6Ax
2By

gy
（b）
xy


2xy

2Bx2Cy
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。
①r