第三章平面问题的直角坐标解答
【34】试考察应力函数ay3在图38所示的
O
矩形板和坐标系中能解决什么问题体力不计
x
h
【解答】⑴相容条件
y
l
不论系数a取何值，应力函数ay3总能满足应
图38
力函数表示的相容方程，式225⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式224，得
x6ayy0xyyx0
⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力左右边界上；
当a0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力
左端fxxx06ay
0yh
fy
xy
0
x0
右端fx
x
6ay
xl
0yhfyxyxl0
应力分布如图所示，当lh时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
O
fx
y
A
x
fx
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：
e
e
P
P
因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

xA

pbh

pebh2
6

0

e

h

6
同理可知，当a0时，可以解决偏心压缩问题。
1
f【36】试考察应力函数


F2h3
xy3h2

4y2
，能满足相容方程，并求出应
力分量（不计体力），画出图39所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画
出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
h2O
h2
y
l
图39
x
lh
【解答】（1）将应力函数代入相容方程（225）
4x4

42x2y2

4y4

0，显然满足
（2）将错误未找到引用源。代入式（224），得应力分量表达式
x
12Fxy
h3
y
0xy
yx


3F2h
1

4y2h2

（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
①在主要边界上（上下边界）上，yh，应精确满足应力边界条件式（215），2
应力
y
yh20yx
0
yh2
因此，在主要边界
y


h2
上，无任何面力，即
fx

y


h2


0
fy

y


h2


0
②在x0，xl的次要边界上，面力分别为：
3F4y2
x

0
fx

0
fy

2h
1
h2

x
l

fx


12
Fly
3
h

fy

3F2h
1
4y2h2

因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x0，xl的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x0上
xl上
2
fx向主矢：FN1
h2h2
fxdy0
y向主矢：FS1
h2h2
fydyF
主矩：M1
h2h2
fxydy
0
h2
FN2h2fxdy0
h2
FS2h2fydyF
h2
M2h2fxydyFl
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
a
b
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
【38】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图310），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。由r