习题六
1检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间12阶反对称上三角矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；2平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k；32阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；4与向量1，1，0不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法【解】（1）是由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的18条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则AB′A′B′ABABkA′kA′kAkA所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间（2）否因为kl而kl2所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质（3）否因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）（4）否因为加法不封闭例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）（0，1，0）（1，1，0）不属于这个集合2设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ【证明】设U的维数为m，且1自然1
2m是U的一个基，因UV且V的维数也是m，
2m也是V的一个基，故UVr是
维线性空间V
的线性无关向量组，证明V
中存在向量r1
使
3设12
12rr1
成为V
的一个基对
r用数学归纳法
【证明】对差
r作数学归纳法当
r0时，结论显然成立假定对
rk时，结论成立，现在考虑
rk1的情形因为向量组12
r还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在r线性表出，把r1添加进去所得向量组12rr1
一个向量r1不能由12
必定还是线性无关的，此时
r1
r1k11k由归纳法假设
12rr1可以扩充为整个空间的一个基
根据归纳法原理，结论普遍成立
1
f4在R中求向量＝0001在基1＝11012＝2131
４
3＝11004＝01－1
－1下的坐标【解】设向量在基1234下的坐标为x1x2x3x4则
x11x22x33x44
即为
1101
解之得
３
210r