223l
3x2yyuyvyy3x2yy2yv
2设zarcsi
xy，而x3t，y4t，求
3
x
y
dzdt
t
图942
3
f解
112t2dzzdxzdy1322dtxdtydt1xy1xy
314t213t4t
32


3设u
dueaxyz，而yasi
x，zcosx，求2dxa1
u
z
y
解
duuudyudzdxxxdxzdx

aeaxyza21

eaxeaxacosx1si
xa21a21
图943
x

eaxa2si
xacosxacosxsi
xeaxsi
xa21
4求函数ufxxyxyz的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）解将中间变量依次编为123号则有
u
1
uf11f2yf3yzf1yf2yzf3x
2
3
uf2xf3xzxf2xzf3y
uf3xyxyf3z
x
y
z
y5设zxyxFu，而u，Fu为可导函数，证明x
图944
x
zzyzxyxy
z
证x
zzuuyxyFuxFuyxxFuxyxy
yxyFuFuyxFux
x
u
图945
y
xyxFuxyzxy
故等式成立
注本题包含了四则运算、复合运算和抽象函数的偏导数计算问题
226设zfxy，其中f具有二阶导数，求
2z2z2z，，x2xyy2
4
f解令ux2y2则
zuzufu2xfufu2yfuxxyy
2zu2fu2xfu2fu4x2fu2xx
2zu2xf4xyfuxyy
2zu2fu2yfu2fu4y2fu2yy
习题95隐函数的求导公式ydy221设l
xyarcta
，求xdx
解法1令Fxyl
xyarcta
22
y则x
12xFx22xy2
yxy222yxxy1x1
2
12yFy22xy2
1y1x
2

1yx2xxy2
由隐函数求导公式当Fy0时有
xydyFx2y2xyxyxdxFyxyx2y2
11解法2等式两边分别对x求导得2r