角线AE，BD上的点，且AP＝DQ求证：PQ∥平面CBE证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，PMEPQNBQ＝，＝ABEACDBD
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ又∵AB＝CD，∴PMQN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN又∵PQ平面CBE，MN平面CBE，∴PQ∥平面CBE平面与平面平行的判定

典
例

已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．1求证：平面A′B′C′∥平面ABC2求A′B′∶AB的值．解1证
f明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且＝2，∴A′B′∥MN同理可得B′C′∥NQ∵A′B′∥MN，MN平面ABC，A′B′平面ABC，∴A′B′∥平面ABC同理可证B′C′∥平面ABC又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′平面A′B′C′，B′C′平面A′B′C′，∴平面A′B′C′∥平面ABC2由1知A′B′∥MN，且2即A′B′＝MN31∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB22211∴A′B′＝MN＝×AB＝AB，3323∴A′B′11＝，即A′B′∶AB的值为AB33A′B′PA′2＝＝，MNPM3PA′A′M＝PB′B′N
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
活学活用
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：1B，C，H，G四点共面；2平面EFA1∥平面BCHG证明：1∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．2∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，
f∴EF∥平面BCHG∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG平行中探索存在性问题

典
例

在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．解如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，11所以MDAC，OEAC，22因此MDOE连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC即线段AB上r