等腰直角三角形与正方形手拉手
例：已知，在△ABC中，∠BAC90°，ABAC点D在直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①CFBD②CF⊥BD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，线段CF与BD的上述关
系是否还成立？请直接写出结论即可（不必证明）；（3）如图3，当点D在线段的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两端，其他条件不
变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC∠ACB45°，正方形的性质可得ADAF∠DAF90°然后利用同角的余角相等求出∠BAD∠CAF，再利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CFBD，全等三角形的对应角相等可得∠ACF∠ABD，然后求出∠BCF90°再根据垂直的定义证明即可；（2）结论仍然成立；（3）同（1）可证△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CFBD，全等三角形对应角相等可得∠ACF∠ABD135°，然后求出∠BCF90°，再根据垂直的定义证明即可解：（1）∵∠BAC90°，ABAC，∴∠ABC∠ACB45°
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f∵四边形ADEF是正方形，∴ADAF∠DAF90°，∵∠BAD∠CAD∠BAC90°，∠CAF∠CAD∠DAF90°，∴∠BAD∠CAF
ABAC在△ABD和△ACF中，BADCAF，∴△ABD≌△ACF，所以①CFBD，∠ACF∠ABD
ADAF
∴∠BCF∠ACB∠ACF45°45°90°，∴②CF⊥BD（2）当点D在线段延长线上时，线段CF与BD的上述关系仍然成立；（3）当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两侧，线段CF与BD的上述关系仍然成立理由：同理可证，△ABD≌△ACF，∴CFBD，∠ACF∠ABD180°45°135°，∵∠ACB45°，∴∠BCF∠ACF∠ACB135°45°90°，∴CF⊥BD总结：两个等腰直角三角形共直角顶点为手拉手模型之一，如图，其中有等腰直角三角形和正方形共直角顶点，相当于两个等腰直角三角形“手拉手”，因为正方形其中一个对角线与两边就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性质的应用
练习：在△ABC中，ABAC，∠BAC90，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以
AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1
①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB2，则GE的长为_______，并简述求GE长的思路．
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