四边形的综合题二十二针对陕西中考第26题1.2012陕西如图,正三角形ABC的边长为3+3
1如图①,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大不要求写作法;
2求1中作出的正方形E′F′P′N′的边长;3如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.解:
1如图①,正方形E′F′P′N′即为所求2设正方形E′F′P′N′的边长为x,∵△ABC为正三角形,∴AE′=BF′=33x,∵E′F′+AE′+BF′=AB,∴x+33x+33x=3+3,∴x=92+33+33,即x=33-3x≈220也正确3如图②,
连接NE,EP,PN,则∠NEP=90°,设正方形DEMN,正方形EFPH的边长分别为m,
m≥
,它们的面积和为S,则NE=2m,PE=2
,∴PN2=NE2+PE2=2m2+2
2=2m2+
2,∴S=m2+
2=12PN2,延长PH交ND于点G,则PG⊥ND,在Rt△PGN中,PN2=PG2+GN2=m+
2+m-
2,∵AD+DE+EF+BF=AB,即33m+m+
+33
=3+3,化简得m+
=3,∴S=1232+m-
2=92+12m-
2①当m-
2=0时,即m=
时,S最小,∴S最小=92;②当m-
2最大时,S最大,即当m最大且
最小时,S最大,∵m+
f=3,由2知,m最大=33-3,∴S最大=129+m最大-
最小2=129+33-3-6+332=99-543S最大≈547也正确,综上所述,S最大=99-543,S最小=92
2.2011陕西如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD含端点上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD含端点交于F,然后再展开铺平,则以B,E,F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
1由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个__等腰__三角形;
2如图②,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
3如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?若不存在,为什么?
解:2如图①,连接BE,画BE的中垂线交BC于点F,连接EF,△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形,∵折痕垂直平分BE,AB=AE=2,∴点A在BE的中垂线上,即折痕经过点A,∴四边形ABFE为正方形,∴BF=AB=2,∴F2,0
3矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,理由如r