递推数列与函数方程及不等式综合的有关问题
福建省永定县第一中学简绍煌有关数列问题递推数列常常是高考命题的热点之一递推数列常常与函数方程及不等式等相结合构成综合性题目为提高分析问题解决问题的能力有必要对其做一番探讨1递推数列与方程之间的关系由方程给出的关系求这类递推数列的通项公式一般是用公式法即利用
x
S
S
1
≥2等而构造方程组解之
例1设数列x
满足2S
2x
S
x
≥2x12求x
及S
2
解析将x
S
S
1代入题设得2S
S
1S
1S
这是关于S
的递推式所以只能先求出S
再求x
∵x
2S
≠0∴∴
1112
≥2即数列是以2为公差S
S
1S

11114
32为首项的等差数列故有2
1∴S
S12S
224
3
从而x
S
S
1
228
≥24
34
134
34
7

21∵x
2不满足此式故x
8
4
34
7≥2
是正数组成的数列其前
项和为S
并且对于所有的正整数
x
与1例2设x
的等比中项求数列x
的通项公式解析解法一依题意有S

x
121x
S
S
1x
12x
112∴44
即x
12x
1124x
或x
x
1x
x
120
∵x
0x
x
12∴
又x11故x
是首项为1公差为2的等差数列x
2
1∴
解法二∵
x
1S
S1x11∴2
当
≥2时S
S
S
11即S
S
11S
S
1102∵x
0S11S
S
11
≥2∴
f∴S
从而x
2S
12
1解法三由已知可求得x11x23x35猜想x
2
1再用数学归纳法证明之2数列与函数不等式的综合问题例3已知函数fxx
x2a2a0
1求函数fx的反函数f1x及其定义域
满足x13a且x
1f2数列x

1
x
设y

x
a数列y
的前
x
a
项和为S
试比较当
≥4时S
与的大小并证明您的结论解析1∵yx
78
x2a2∴y22xyx2x2a2即x
y2a22y
y2a2yaya∵yx≥0∴y≥0或≥0∴y≥a或a≤y02y2y
故f
1
x
x2a2其定义域为xx≥a或a≤x0a02x
2x
a2a22x
a2x
1a22x
xa212∵x
1fx
∴y
12
2x
a2x
x
a2x
1a2x

3aa1故z
lgy
对式①两边取对数3aa212得lgy
1lgy
2lgy
∴z
lgy
是以首项为z1lgy1lg公比为2的等比2112
11121412
1
1数列于是有z
2lg∴y
故S
次式不222222
即y1y
2
①又x13ay1∴
易求r