和而当
≥4时有2∴

1
0111
C
1C
1C
21C
1≥1C
1C
11
1
12
2
1
1≤
1故可用放缩法证明之2
∵S

112141111111156
11
32222222416162111172416168
f故当
≥4时有S

78321111x的最大值不大于又当x∈时fx≥26428
例4已知函数fxax1求a的值
11x
1fx
∈N证明x
2
1321a解析1由于fxaxx的最大值不大于又函数对称轴方程为x263
2设0x1所以fxmax
aa3a2a21≤faii≤即a2≤1332366
①
11f2≥8111又当x∈时fx≥所以即428f1≥148
由①和②得a12证法一Ⅰ当
1时x10
a3128≥8解得a≥1②a3≥14328
11不等式0x
成立2
1321因函数fxxx的对称轴方程为x故此结论不能用于递推所以还23需验证
2时的情形211∵fx0x∈00x2fx1≤故当
2时不等式也成立∴3631Ⅱ假设
kk≥2时不等式0xk成立k13211∵fxxx的对称轴方程为x知fx在0为单调递增函数233111∴由0xk≤得0fxkf于是有k13k1
0xk1
13113111ii22k12k1k12k1k2k21k412k22k1k2k21成立
1
所以当
k1时不等式也成立根据Ⅰ和Ⅱ可知对任何
∈N不等式x
证法二Ⅰ当
1时x10
11不等式0x
成立2
11Ⅱ假设
kk≥1时不等式成立即0xkk1
f那么当
k1时xk1xk这里考虑应用均值不等式∵k2xk01
32313xkxk1xkk2xk1xk22k22
3xk02
22
31k2xk1xk1kxk322∴k2xki1xk≤1222
于是0xk1
1因此当
k1时不等式也成立k21成立根据Ⅰ和Ⅱ可知对任何
∈N不等式x
111证法三Ⅰ当
1时x1不等式0x
0成立2
11Ⅱ假设
kk≥1时不等式成立即0xkk1321由于函数fxxx对称轴方程为x所以在证明递推式时放缩的关键在于23
以
1为分界31则k233110xk1xk1xkxk1ixk①22k2k211若≤xk则k2k131312k1110xk1xk1xk1ii②2k12k22k2k2k21由式①②知当
k1时不等式0x
也成立
11根据Ⅰ和Ⅱ可知对任何
∈N不等式x
成立
r