0。
则称向量组aaa
21线性相关。
反之如果只有在k1k2ks时上式才成立就称向量组aaa
21线性无关。
列向量也同样如此。
f对此单个零向量构成的向量组是线性相关的。
定义给定向量a和向量组bbbt21如果存在一组数kkk
21
使得abk11bk22bktt
则称向量a为向量组bbbt21的一个线性组合或者说a可有向量组
bbbt
2
1
线性表示k
kk
2
1
称为组合系数。
例6设a1111a21111a31111a41111b1211
试问b能否有aaa421线性表示若能写出具体表达式。解令
bak11ak22ak33ak44
于是得线性方程组
k1
k2
k3
k
4
1k1
k2
k3
k
4
2k1
k2
k3
k
4
1k1
k2
k3
k
4
1
1111
因为D111116≠011111111
则由克拉默法则求出
k1
45k241k3k441
所以b45a141a241a34
1
a4
f因此b能由aaa421线性表示。
定理1向量组aaa
21
大于等于2线性相关性的充分必要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表示。
定理2设向量组bbbt21线性无关而向量组bbbt21a线性相关则a能由向量组bbbt21线性表示且表示式是唯一的。
定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。推论含有零向量的向量组必线性相关。
定理4以后包括定理4的在此处省略部分推论也省了。
三向量组间的关系与极大线性无关组
两个向量组A和B如果向量组A中的每个向量都能由向量组B线性表示则称向量组A能由向量组B线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这两个向量组等价。
显然向量组之间的等价关系具有下述性质
1反身性
2对称性3
传递性
四向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
由上一节知道一个向量组的极大线性无关组可能不是唯一的但任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。
由于线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组所以有一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。
我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价根据定理8的推论2就有等价的向量组必有相同的秩。
五向量空间
f设V为
维向量组的集合。如果V非空切对于向量加法及数乘运算封闭及对任意的ab都属于V和常数k都有
ab∈Vka∈V
就称集合V为一个向量空间。
六论文小结
在高一上半学期的时候和高中同学聊起挂科这个话题的时候他就提到了线性代数因为他说很难所以他挂了。当时我就对线性r