选修45不等式选讲
考点1不等式的性质
1已知abc均为正数证明a2b2c22≥6并确定abc为何值时等号成立
考点2绝对值不等式
2设函数fxx1x21解不等式fx22求函数gxl
fx的值域3已知函数fx2xax1a01若函数fx与x轴围成的三角形的面积的最小值为4求实数a的取值范围2若对任意的x∈R都有fx2≥0求实数a的取值范围4已知m1且关于x的不等式mx2≥1的解集为041求m的值2若ab均为正实数且满足abm求a2b2的最小值
5设函数fx的最大值为M
1求实数M的值2求关于x的不等式xx2≤M的解集6已知函数fxxax21当a3时求不等式fx≥3的解集2若fx≤x4的解集包含12求实数a的取值范围
考点3证明不等式的基本方法
7已知a0b0求证≥
8已知abc均为正实数求证
1ababc2≥4abc
2若abc3则


≤3
答案
1解法一因为abc均为正数所以a2b2c2≥3abc①因为≥3abc
f所以2≥9abc②
故a2b2c22≥3abc9abc
又3abc9abc≥26③所以原不等式成立当且仅当abc时①式和②式等号成立
当且仅当3abc9abc时③式等号成立
即当abc时原式等号成立
解法二因为abc均为正数由基本不等式得a2b2≥2abb2c2≥2bcc2a2≥2ac所以a2b2c2≥abbcac①
同理≥②
故a2b2c22a2b2c2≥abbcac≥6③
所以原不等式成立当且仅当abc时①式和②式等号成立当且仅当ab2bc2ac23时③式等号成立即
当且仅当abc时原不等式等号成立

21由题意知fxx1x2


当x1时由fx2得32x2解得x所以x
当1≤x≤2时fx2无解当x2时由fx2得2x32解得x所以x
综上不等式fx2的解集为∞∪∞
2因为fxx1x2则fx≥1又函数yl
x在其定义域内为增函数所以函数gxl
fx的值域为0∞

31由题意可得fx


画出函数fx的图象如图D1所示
f图D1函数fx与x轴围成的三角形为△ABC易求得A2a10B0Caa1
所以S△ABC2a1×a1a12≥4a0解得a≥1
2由图D1可知fxmi
faa1对任意的x∈R都有fx2≥0即fxmi
2≥0即a12≥0解得a≤1又a0所以实数a的取值范围为0141∵m1不等式mx2≥1可化为x2≤m1∴1m≤x2≤m1即3m≤x≤m1
∵不等式mx2≥1的解集为04∴
即m3
2由1知ab3
解法一利用基本不等式
∵ab2a2b22ab≤a2b2a2b22a2b2
∴a2b2≥∴a2b2r