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高中数学
定积分讲义总结内容一定积分概念
一般地，设函数fx在区间ab上连续，用分点ax0x1x2将区间ab等分成
个小区间，每个小区间长度为x（x
xi1xi
x
b
ba），在每个小区间xi1xi上取一点

ii12
，作和式：S
fix
i1i1



bafi

如果x无限接近于0（亦即
）时，上述和式S
无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数fx在区间ab上的定积分。记为：S

b
a
fxdx
其中fx成为被积函数，x叫做积分变量，ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分

b
a
fxdx是一个常数，即S
无限趋近的常数S（
时）称为fxdx，而不是S
．
a
b
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：
等分区间ab；②近似代替：取点ixi1xi；③求和：
bbaba；④取极限：ffxdxlimfiia

i1i1

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx．1．分割在区间0b上等间隔地插入
1个点，将区间01等分成
个小区间：

1bbb2b0，，，b


记第i个区间为
i1bibi12


，其长度为x
ibi1bb


把在分段0


1bbb2b，，，b上所作的功分别记作：W1，W2，，W


i1bi1bbxk


（2）近似代替有条件知：WiF（3）求和
i12

W
Wi
i1i1



i1bbkb2k012

2
kb2
1kb21
11
222

1
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从而得到W的近似值WW


kb2112
kb21kb21
2
2
kb22
（4）取极限WlimW
lim


Wilim
i1
所以得到弹簧从平衡位置拉长br