选修23定理概念及公式总结
第一章基数原理
1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有
类办法，在第一类办法中有m1种
不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第
类办法中有m
种
不同的方法那么完成这件事共有新疆王新敞奎屯
Nm1m2……m

种不同的方法新疆王新敞奎屯
2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成
个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第
步有m
种不同的方法，那么完成这件事有Nm1×m2×……m
种不同的方法
分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
3两个计数原理的区别
如果完成一件事，有
类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成
这件事用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能
完成这件事，是分步问题用分步计数原理
4排列从
个不同的元素中取出m个m≤
元素并按一定的顺序排成一列叫做从

个不同元素中取出m个元素的一个排列
（1）排列数从
个不同的元素中取出m个m≤
元素的所有排列的个数用符号A
m表示
（2）排列数公式A
m
1
2
m1用于计算，
或
A
m



m

mNm

用于证明。
A


1321
1
规定0！1
5组合：一般地，从
个不同元素中取出mm
个元素并成一组，叫做从
个不
同元素中取出m个元素的一个组合
（1）组合数
从
个不同元素中取出m

m



个元素的所有组合的个数，用
C
m

表示
（2）组合数公式
C
m

A
mAmm


1
2m

m1
用于计算，
或
C
m


m

m

m
N且m



用于证明。
f（3）组合数的性质：
①
C
m


C


m
．规定：
C
0

1；
②
C
m
1
＝
C
m


C
m

1

③
C
1


C
1



④C
1
6二项式定理及其特例：
（1）二项式定理ab

C
0a

C
1a
1bC
ra
rbr



C


b




N

展开式共有

1
项，其中各项的系数C
r

r

012

叫做二项式系数。
（2）特例：1x
1C
1xC
rxrx

7二项展开式的通项公式：Tr1C
ra
rbr（为展开式的第r1项）
8．二项式系数的性质：
（1）对称性：在ab
展开式中，与首末两端“等距”的两个二项式系数相等
即
C
m


C


m
，直线
r


是图象的对称轴．2
（2）增减性与最大值：当r


1时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的2
后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当
是偶数时，在中间一项T
2的二项式系数C
2取得最大值；
2

1r