2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（B卷）参考答案及评分标准
说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点）是线，D段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：OK⊥MN，若则A，B，D，C四点共圆．证明：用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设A三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．因为PKP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）
2
O
POr
2
2
KO
22
2
r
2
，
2
B
EKD
C
同理所以故
QKQOr
2
KO
2
r
2
2
，
M
P
Q
N
POPKQOQ，K
22
OK⊥PQ．
由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
（10分）
AQAP．QNPM
由梅内劳斯（Me
elaus）定理，得
①
NBDEAQ1，BDEAQN
MCDEAP1．CDEAPM
由①，②，③可得
②
③
NBMC，BDCD
所以
（30分）
NDMD，故△DMN∽△DCB，于是DMNDCB，所以BC∥MN，OK⊥BC，故BDDC
（40分）
即K为BC的中点，矛盾！从而ABDC四点共圆
2
注1：“PKP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使
f得
PKKFAKKE，
则P，E，F，A四点共圆，故
④
PFEPAEBCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PKPFPEPC，
⑤④，得
⑤
PK2PEPCAKKE
．P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
A
OFBEKDPC
Q
NM
二、（本题满分40分）设m和
是大于1的整数，求证：
1m2m
m
mm1
1kk
1Cm
Cm1ijjm1k1j1i1
证明：由（q1
m1
jCm1qj得到j0
m1
jq1m1qm1Cm1qjj0
m
分别将q12
代入上式得：
j2m11Cm1j0m
j3m12m1Cm12jj0
m

j
m1
1m1Cm1
1jj0m
fj
1m1
m1Cm1
jj0
m
将上面
个等式两边分别相加得到：
j
1m11Cm1ijj0i1m

（20分）

1
1m1
Cm1ij）m1im（jr