2008年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）试题参考答案
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）如题一图，ABCD是圆内接四边形．AC与BD的交点为
P，是弧上一点，E连接EP并延长交DC于点F，GH点AB
分别在CE，DE的延长线上，满足EAGFAD，
EBHFBC，求证：CDGH四点共圆．
证由已知条件知
FAGFAEEAGFAEFADDAE．
又所以
DAEDCE180，
FAGDCE180，
题一图
从而AFCG四点共圆，此圆记为1．同理可证：BFDH四点共圆，此圆记为2．点E在圆1，2内．延长FE与圆1相交于点I，则
IPPFAPPCDPPB，
故BFDI四点共圆．所以I在BFD的外接圆上，故I在2上．再用相交弦定理：
EC
EG
EF
IE
EDEH，
答一图
故CDGH四点共圆．
二、（本题满分50分）求满足下列关系式组
x2y22z2zyz50
f的正整数解组xyz的个数．解令ryz，由条件知0r50，方程化为
x2zr22z2，即x22zrr2z2．
因yzr0，故z2x2y2z2x2，从而zx．设pzx0．因此（1）化为
（1）
2zpp22zrr20．
下分r为奇偶讨论，（）当r为奇数时，由（2）知p为奇数．令r2r1，p2p11，代入（2）得1
（2）
2p12p1zp1zr1r12r110．
（3）
（3）式明显无整数解．故当r为奇数时，原方程无正整数解．（）当r为偶数时，设r2r，由方程（2）知p也为偶数．从而可设p2p1，代入（2）1化简得
p12zp1zr1r120．
（4）
2由（4）式有zp1rp1r20，故p1r，从而可设p1ra，则（4）可化为1111
r1a2zar120，2r122ar1zaa20．
因z（5）
2r122r1a为整数，故a2r12．a
又zzx2p12ra，因此1
r1a2r12za2r1aa，得a22r12，
a2r1．
因此，对给定的r1225，解的个数恰是满足条件a2r的2r12的正因数a的个数11
fNr1．因2r12不是完全平方数，从而Nr1为2r12的正因数的个数2r12的一半．即
Nr1r