EH＝AD＝BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，2所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH又BH，DH平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH又BD平面DBH，故EG⊥BD2解因为AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，AE平面AEFD，
所以AE⊥平面EBCF由1知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高DH＝AE＝x11又S△BCF＝BCBE＝×4×4－x＝8－2x，221所以三棱锥D－BCF的体积fx＝S△BFCDH311＝S△BFCAE＝8－2xx3328＝－x2＋x0x4．33
5【解析】Ⅰ方法一取AD中点O连结OPOCAC依题意可知△PAD△ACD均为正三角形所以OCADOPAD又OC
OPOOC平面POCOP平面POC
P
所以AD平面POC又PC平面POC所以PCAD………………4分方法二连结AC依题意可知△PAD△ACD均为正三角形又M为PC的中点所以AMPCDMPC
8BQ
MACO
D
f又AM
DMMAM平面AMDDM平面AMD
所以PC平面AMD又AD平面AMD所以PCAD………………4分Ⅱ当点Q为棱PB的中点时AQMD四点共面证明如下………………6分取棱PB的中点Q连结QMQA又M为PC的中点所以QMBC在菱形ABCD中ADBC所以QMAD所以AQMD四点共面………………8分Ⅲ点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离由Ⅰ可知POAD又平面PAD平面ABCD平面PAD高………………9分在RtPOC中POOC3PC6在PAC中PAAC2PC6边PC上的高AM所以PAC的面积SPAC平面ABCDAD
PO平面PAD所以PO平面ABCD即PO为三棱锥PACD的体
PA2PM2
102
111015………………10分PCAM62222设点D到平面PAC的距离为h由VDPACVPACD得………………11分
11SPAChSACDPO33
又
SACD
32234

所
以
1151h33………13分323
解得h
2155215………………14分5
所以点D到平面PAM的距离为
61证明取AB的中点M，连接A1M1因为AF＝AB，所以F为AM的中点．4又E为AA1的中点，所以EF∥A1M在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，M分别是A1B1，AB的中点，所以A1D∥BM，A1D＝BM，所以四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥BD所以EF∥BD因为BD平面BC1D，EF平面BC1D，所以EF∥平面BC1D2解设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比
9
f为1∶15，如图所示．则VE－AFG∶VABC－A1B1C1＝1∶16，VEr