南京航空航天大学0714硕士研究生矩阵论试题
20072008学年《矩阵论》课程考试A卷
12
1

A223
111
，
一、
（20分）设矩阵
（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；
（2）求A的行列式因子、不变因子和初等因子；
6
（3）求A的最小多项式，并计算A3A2I；
（4）写出A的Jorda
标准形。
二、
（20分）设R
（1）求R
22
22
是实数域R上全体22实矩阵构成的线性空间按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法。
的维数，并写出其一组基；
（2）设W是全体22实对称矩阵的集合，
证明：W是R
22
的子空间，并写出W的维数和一组基；
（3）在W中定义内积ABtrBA其中ABW，求出W的一组标准正交基；
（4）给出R
22
上的线性变换T：TAAA
T
AR22
写出线性变换T在（1）中所取基下的矩阵，并求T的核KerT和值域RT。
三、
（20分）
213
A
121，求A1，A2，A，AF；
（1）设
（2）设
证明：
AaijC

是
，令
A
maxaij
ij
，
C
上的矩阵范数并说明具有相容性；
1
AA2A
（3）证明：
。
四、
（20分）已知矩阵
11
11
A
00
00

（1）求矩阵A的QR分解；
1
2

0
1
b
1
1

2
1
，
，向量
f
（2）计算A；
（3）用广义逆判断方程组Axb是否相容？若相容求其通解若不相容求其极小最小二乘解。
五、
（20分）
532
01

A32tB11
2t2
205t


（1）设矩阵
2
05t
1
，其中t为实数，
问当t满足什么条件时AB成立？
A
A11
H
A12
（2）设
阶Hermite矩阵
A12
0
kk
A22
，其中A11C，
1
证明：A110A22A12A11A120。
H
（3）已知Hermite矩阵

AaijC

，
aiiaij
i12

ji
，证明：A正定。
20072008学年《矩阵论》课程考试B卷
122

A140
040
，
一．
（20分）已知矩阵
（1）求A的不变因子、初等因子及最小多项式；
1
（2）求A的Jorda
标准形J及可逆变换矩阵P，使得PAPJ；
A是否收敛？
（3）问矩阵序列
k
二．
（20分）
210

A023
120
，求A1A2AAF
（1）已知矩阵
（2）设A为
阶可逆矩阵，
证明：
A1
1
三．
（20分）
对
A
Rr