x3
fxRx3

是C


上的相容范数，为A的任一特征值，
。
表示实数域上次数不小于3的多项式与零多项式构成的线性空间，
，记
fxax2bxc其中abcR，在Rx3上定义线性变换：
Tfx3ax22a2b3cxab4c
f（1）给出
Rx3
的一组基，并求出线性变换T在该基下的表示矩阵；
（2）求线性变换T的特征值和特征向量；
（3）判断线性变换T是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。
四．
（20分）
2411

A1
212
1221
，试给出A的满秩分解，并计算A；
（1）设
4
b0
2
，利用广义逆矩阵判断线性方程组Axb是否相容？若相容，求其通解；
（2）设
若不相容，求其极小最小二乘解。
五．
（20分）
532
01

A32tB11
2t2
205t

（1）设
2
05t
1
其中t是实数，
问t满足什么条件时，AB成立？
xHAx
RxH

xx，
（2）设A为
阶Hermite矩阵，对任意xCx0，记
证明：
mi
ARxmaxAx0。
A
A11H
A12
（3）设
阶Hermite矩阵
如果
A110A22A12HA111A120
A12
A22
ACkk1k
，其中11
，
证明：A0。
20082009学年《矩阵论》课程考试A卷
816

A3
0
3
14210

一（20分）设
（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；
（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；
（3）写出A的Jorda
标准形。
f11

A01
11
，求A1A2AAF；
二（20分）
（1）设
（2）设

是C


上的相容矩阵范数，证明：
（i）如果A是
阶可逆矩阵，是A的任一特征值，则
（ii）如果PC


是可逆矩阵，令
APP1AP
A1
，则
1
AP
A
是C


；
上的相容矩阵范数。
1
101

A010b2
101
2
，
，
三（20分）设

（1）作出A的满秩分解，计算A；
（2）应用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容。若相容，求其通解；
若不相容，求其极小最小二乘解；
（3）设A是m
实矩阵，b是m维实向量，证明：不相容线性方程组Axb的最小二乘解唯一当且仅当A列
满秩。
四20分设V表示实数域R上全体22上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。
（r