际意义完全不同的问题最终都归结同一形式的极限问题。
因此有必要撇开这
类极限问题的实际背景给出一个更广泛、更抽象的数学概念即二重积分。
（二）二重积分的定义
1．定义：设fxy是闭区域D上的有界函数将区域D分成个小区域
12

其中i既表示第i个小区域也表示它的面积i表示它的直径。
max
1i
i
iii
作乘积fiiii12L


作和式
fiii
i1
若极限


f
lim
iii
0i1
存在则称此极限值为函数fxy在区域D上的二重积分
记作fxyd。
D
即
fxydlim

f

ii
i
0
D
i1
其中fxy称之为被积函数fxyd称之为被积表达式d称之为面积元素

xy称之为积分变量D称之为积分区域fii
i1
i称之为积分和式。
2．几个事实1二重积分的存在定理
若fxy在闭区域D上连续则fxy在D上的二重积分存在。
声明在以后的讨论中我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
2fxyd中的面积元素d
D
象征着积分和式中的
i。
4
f图1013
由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外绝大多数的小区域都是矩形
因此可
以将d记作dxdy并称dxdy为直角坐标系下的面积元素二重积分也可表示成为
fxydxdy。
D
3若fxy0二重积分表示以fxy为曲顶以D为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1线性性
fxy
D
其中是常数。
gxyd
fxyd
D
gxyd
D
2对区域的可加性
若区域D分为两个部分区域D1D2则
fxydfxyd
D
D1
3若在D上fxy1为区域D的面积则
fxyd
D2
1d
d
D
D
几何意义高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4若在D上fxy
xy则有不等式
fxyd
D
xyd
D
5
f特别地由于fxyfxyfxy，有
fxyd
D
fxyd
D
5估值不等式
设M与m分别是fxy在闭区域D上最大值和最小值是M的面积则
6二重积分的中值定理
m
fxydM
D
设函数fxy在闭区域D上连续是D的面积则在D上至少存在一点使
得7、对称性（偶倍奇零）
fxyd
D
f
设函数fxy在闭区域D上连续D关于x轴对称D
位于x轴上方的部分为
D1在D上
1fxyfxy则fxyd
D
2fxyd
D1
2fxyfxy则fxyd
0
D
当区域关于y轴对称函数关于变量x有奇偶性时仍有类似结果例1比较下列各对二重积分的大小
（1）xr