章节题目
教学目的重点难点
高等数学教案
第十章重积分§101二重积分的概念及性质
课型理论课
理解二重积分的概念，了解二重积分性质。
二重积分的概念，性质如何运用二重积分的性质去解决问题
参考书目
同上
教具
教学后记
教学过程
（一）、复习上节内容（二）、讲授
§101二重积分的概念及性质一、二重积分的概念（一）引例1曲顶柱体的体积
2平面薄片的质量
（二）二重积分的定义1．定义：2几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义
（三）、本次课内容小结（四）、布置作业
1
f第十章重积分
§101二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
（一）引例1曲顶柱体的体积
设有一空间立体它的底是xoy面上的有界区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zfxy。
当xyD时fxy在D上连续且fxy0以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V可以这样来计算
1用任意一组曲线网将区域边界曲线为准线作母线平行于
，
D分成
个小区域1
2，L，
z轴的柱面这些柱面将原来的曲顶柱体
顶柱体
1，2，L，
。

，以这些小区域的
分划成
个小曲
（假设i所对应的小曲顶柱体为
i这里
i既代表第i个小区域又表示它的面积值
i既代表第i个小曲顶柱体又代表它的体积值。

从而V
i
i1
图1011

将化整为零
2由于fxy连续对于同一个小区域来说函数值的变化不大。因此可以将小曲顶柱
2
f体近似地看作小平顶柱体于是
ifiiiii
i
以不变之高代替变高求i的近似值
3整个曲顶柱体的体积近似值为
V

fii
i
i
1
4为得到V的精确值只需让这
个小区域越来越小即让每个小区域向某点收缩。为此
我们引入区域直径的概念
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小意指让区域的直径趋向于零。
设
个小区域直径中的最大者为
则


V
limf
0i1

i

i
i
2平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy面上的区域D它在xy处的面密度为xy0而且xy在D上连续现计算该平面薄片的质量M。
xy这里
将D分成
个小区域
图1012
1，2，L，
，用i记
i的直径
个小区域又代表它的面积。
当maxi
很小时由于xy连续每小片区域的质量可近似地看作是均匀
1i

的那么第i小块区域的近似质量可取为
iii
iii
i既代表第i
3
f于是


M
iii
i1

Mlimiii
0
i1
两种实r