不动点法求数列通项公式
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December102020
f不动点法求数列通项公式
通常为了求出递推数列a
1ca
dea
f【c、d、e、f是不全为0的常数c、e不同时为0】的通项我们可以采用不动点法来解假如数列a
满足a
1fa
我们就称xfx为函数fx的不动点方程其根称为函数fx的不动点至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项这足可以写一本书但大致的理解可以这样认为当
趋于无穷时如果数列a
存在极限a
和a
1是没有区别的
首先要注意并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程比如：a
1a
1a
其次不动点有相异不动点和重合不动点
下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧◎例1：已知a12a
12a
1求通项【说明：这题是“相异不动点”的例子】先求不动点∵a
12a
1∴令x2x1解得不动点为：x1和x2【相异不动点】∴a
11a
12【使用不动点】2a
112a
122a
122a
2a
12a
412a
1a
2∵a12∴a11a1214∴a
1a
2是首项为14公比为12的等比数列
f∴a
1a
21412
1解得：a
3112
12◎例2：已知数列a
满足a13a
a
12a
11求通项【说明：这题是“重合不动点”的例子“重合不动点”往往采用取倒数的方法】∵a
21a
1∴采用不动点法令：x21x即：x22x10∴x1【重合不动点】∵a
21a
1∴a
121a
11【使用不动点】a
1a
11a
1两边取倒数得：1a
1a
1a
11即：1a
11a
111∵a13∴1a
1是首项为1a1112公差为1的等差数列即：1a
112
12
12∴a
22
112
12
1
例3：已知数列a
满足a112S
a
2
1求通项
【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数现在看个不动点方程系数包含
的例子】
∵S
a
2
1
f∴S
1a
1
12
1
将上面两式相减得：a
1a
1
12a
2
1

1
22
a
1a
22
2a
1
a
2a
1a

22
2【1】采用不动点法令：xx
22
2解得：x1【重合不动点】设：a
1b
则：a
b
1【使用不动点】代入【1】式得：b
11b
1
22
2b
1b

2即：b
1b

2于是：【由于右边隔行约分多写几行看得清楚点】b
b
1
1
1【这里保留分母】b
1b
2
2
【这里保留分母】b
2b
3
3
1b
3b
4
4
2b5b446b4b335b3b224【这里保留分子】b2r