用不动点法求数列通项公式
CALFENGHAIYICAICompa
yO
e1
f用不动点法求递推数列
t
1

at
ct

bd
a2c2≠0的通项
储炳南
（安徽省岳西中学246600）
1．通项的求法
为了求出递推数列t
1

at
ct

bd
的通项，我们先给出如下两个定义：
定义1：若数列t
满足t
1ft
，则称fx为数列t
的特征函数
定义2方程fxx称为函数fx的不动点方程，其根称为函数fx的不
动点
下面分两种情况给出递推数列t
1

at
ct

bd
通项的求解通法
1当c0时
由t
1

at
bct
d

t
1

ad
t


bd

记
ad

k
bd

c，则有t
1

k
t


c
（k≠0）
∴数列t
的特征函数为fxkxc
由
kxcxxc1k
则t
1

k
t


c
t
1
c1k

kt

c1k
∴数列t


c是公比为1k
k
的等比数列
∴t

c1k

t1
ck
11k
t


c1k
t1
ck
11k
2当c≠0时
数列t

的特征函数为：
f
x

axbcxd
2
f由axbxcx2daxb0cxd
设方程cx2daxb0的两根为x1x2则有
cx12dax1b0cx22dax2b0
∴bcx12dax1……1
bcx22dax2……2
又设t
1x1kt
x1其中
∈Nk为待定常数
t
1x2
t
x2
由t
1x1kt
x1
t
1x2
t
x2

at
bct
d
x1
kt

x1
at
ct

bd

x2
t
x2
at
bcx1t
dx1kt
x1……3
at
bcx2t
dx2
t
x2
将1、（2）式代入3式得
at
cx12cx1t
at
cx22cx2t

ax1ax2
kt
x1t
x2
acx1t
x1kt
x1
acx2t
x2
t
x2
kacx1acx2
∴数列t
x1是公比为acx1易证acx10的等比数列
t
x2
acx2
acx2

1
∴t
t

x1x2
t1t1
x1x2


aa

cx1cx2

3
ft


x1

x2

t1t1

x1x2

acx1acx2

1
1
t1t1

x1x2


aa

cx1cx2

1

2．应用举例
例
1：已知数列a
中，a12，a
1

2a
1，求a
的通项。3
解：因为a
的特征函数为：fx2x13
由fx2x1xx13
∴
a
1

2a
13

a
1
1

23
a

1
∴数列a
1是公比为2的等比数列3
∴a
1
a1

123

1

a
1

23

1

例
2
已知数列a
中，a13，a
1

4a
a

21
，求a
的通项。
解：因为a
的特征函数为：fx4x2x1
由
f
x

4x2x1

x

x2
3x
2

0

x1
1x2

2
4a
21
设a
11ka
1a
1
ka
1
a
12
a
24a
22
a
2
a
1
3a
3ka
13a
1ka
1
2a
4
a
22a
2
a
2
k3即a
113a
12a
122a
24
f∴数列

a
a

1

2

是公比为
32
的等比数列
∴a
1a113
1a
2a122
∵a13∴a
1a
2

2


32



1

a


2
223
12
23
1

例
3
已知数列a
中，ar