间X完备的条件不能去掉。解设X为l2的线性子空间，xX的充分且必要条件是除
去有限多个i外其余i皆为零。（x12
）。若
fx12

00X，定义X到X的线性映射
TmTmx0
则
mm0
m12

Tmmm12supTm。
m
对任一x12

00X，当m
时，有
Tmx0，因此
supTmxmaxT1x
T
x。
以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉。8．证明：在完备度量空间X中成立闭球套定力，即若
Svxdxxvv
且S1S2一的x
v1
v12
则存在唯
S


v0v，
Sv；反之，若在度量空间
X中成立闭球套定理，则
X是完备度量空间。证明设X是完备的度量空间，Sv为一列闭球套：
Svxdxxvv
v12
若v0v，对任给0，存在N，当
N时，
，因此当
mN时，dx
xm
。所以xv是柯西列。
x
x0X。设lim

因为SkSk1
k12
当
k时，x
Sk，又Sk是闭
k1
x
Sk。因此x0集，x0lim

Sk。
f
下面证明
k1
Skx0。若y

Sk，则
k1
0dx0ydxxkdxky2k0k
这样必有x0
y。
12
反之，若X满足闭球套定理，x
是柯西列。则存在N1，当
mmN1时，dmmmmN2
，记S1xdxxN1。存在N2N1，当
1
时，
dmm
122
，记
1S2xdxxN22
。存在
NkNk1，当mmNk时，记
SkxdxxNk1k122k1
这样得到一列闭球Skk1，对任意k和任意xSk，有
dxxNk1dxxNkdxNkxNk1
111k1k2k1222
。

所以xSk1，即
xN且limk
k
Sk1Skk12
于是，由假设存在x
Sk
k1
，
x。
k
xN因为x
为柯西列，limk
x，则必有limx
x。因此

X必为完
备度量空间。证毕。9．设是y12
j1
若对任何x12一列复数，

C0，
级数jj都收敛，证明：yl1，其中C0的定义见第八章题9。证明
i1
对每一个
，定义。因为
f
x
f
C0。若x12

C0，
f
ii
iisupi
i1i

ii
i1i1


x
f所以
f
r