第十章
巴拿赫Ba
ach空间中的基本定理
1设X是赋范线性空间，x1x2向量，12
xk是X中K个线性无关
fM的线
k是一组数，证明：在X上存在满足下
k2
列两条件：（1）fxvvv12
性连续泛函f的充要条件为：对任何数t1t2
tk，
t
v1v
k
v
M
tx
v1
k
vv
都成立。证明必要性。若线性连续泛函f满足（1）和（2），则
t
v1v
k
v
ftvxvf
v1
k
tx
v1k
k
vv
M
tx
v1
k
vv
充分性。若对任意数t1t2
tk，有
t
v1v
k
v
M
tx
v1
vv
。
令X0为x1x2
xk张成的线性子空间。对任意
tx
v1
k
vv
X0，定义上线性泛函：
f0f0tvxvtvv。
v1v1
k
k
k
因f0tvxvtvvM
v1v1
k
k
tx，故f0是有界的，且
v1vv
f0M。
由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函f，使f限制在
X0上就是f0。f显然满足条件（1）和（2）。证毕。
f2．设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，x0X，
又dx0Z0，证明存在fX，满足条件：
1）当xZ时，fx0；2）fx0dx0Z；3）f1。证明
记Mx0y
Cy。在ZM上定义泛函f0：
f0x0ydx0Z，则以下三条件成立：
1）当yZ时，f0y0；2）fx0dx0Z；3）f0在M上有界，且f0
M
1。
其中3）可以这样证明：若x0yM，则
f0x0ydx0Zx0y

x0y，
所以f0
M
1。
又对任意yZ，f0x0f0x0yf0x0y。由y的任意性，我们得到
f0x0f0dx0Z。
又f0x0dx0Z，这样我们就证明了f0证明

M
1。
3．证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。设x
是X中一列线性无关向量。记
1
M
spa
x1x2

x
12
。
因x
1是线性无关的。x
1M
，因此由习题2，存在
ff
X，使f
1f
x
dx
M
10f
在M
1为零

12
Kii12

1
以下我们来证明f
是X中线性无关的向量事实上若有
使K1f1K2f2
K
f
0则
K1f1x1K2f2x1
这样由于fix10i2
K
f
x10
。
1

，必有K1f1x10因f1x10
i12所以K10。类似可证Kifixi0，从而Ki0，
这样我们证明了X中有无限多个线性r