共20分7.如图,在长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
1单位向量共有多少个?2写出模为5的所有向量;→3试写出AA1的相反向量.→→→→解析:1由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量AA1,A1A,BB1,B1B,
f→→→→DD1,D1D,CC1,C1C共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.→→→→2由于长方体的左右两侧的对角线长均为5,故模为5的向量有AD1,D1A,C1B,BC1,→→→→B1C,CB1,A1D,DA1→→→→→3向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D8.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式:
→→1AA1-CB;→→→2AB1+B1C1+C1D1;1→1→1→3AD+AB-A1A222→→→→→→→解析:1AA1-CB=AA1+BC=AA1+A1D1=AD1→→→→2AB1+B1C1+C1D1=AD11→1→1→1→1→1→1→→→1→3AD+AB-A1A=AD+AB+AA1=AD+AB+AA1=AC122222222
→→→9.10分如图,已知空间四边形ABCD中,向量AB=a,AC=b,AD=c,若M为BC中点,G为△BCD的重心,试用a,b,c表示下列向量:
→→1DM;2AG解析:1连接AM,
f→→→在△ADM中,DM=DA+AM,由线段中点的向量表示知,→1→→1AM=AB+AC=a+b.22由相反向量的概念知,→→DA=-AD=-c→→→所以DM=DA+AM11=a+b-c=a+b-2c.222在△ADG中,注意到三角形重心的性质,2→→→→得AG=AD+DG=c+DM321→1→DB+DC=c+2321→→→→=c+AB-AD+AC-AD311=c+a+b-2c=a+b+c.33
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