当
△CDE为直角三角形时，AM的长为

2
f例6（2019金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P
作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝
．
例7（2019卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB
交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为
．
例8（2019河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为
二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题3
f例1（2019金水区校级模拟）如图，∠AOB90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线
OB上，且OM3，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’
为等腰三角形时，ON的长为

【分析】分三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’NM’O，设∠ONMx°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x30°，进而利用三角函数求得ON的长；②当M’NON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；
③当M’OONOM3，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在
【答案】1或3【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’NM’O，如图所示，
AN
MH
P
O
M
B
设∠ONM’x°，则∠OM’M∠OMM’2x°
∵∠AOB90°，
∴x2x90，解得：x30，
OM
在Rt△NOM中，ON
3；
ta
30°
②当M’NON时，如下图所示，
4
fAM
H
N
P
O
M
B
由①知：∠NOM’30°，
过M’作M’H⊥OA于H，
∴HM’1OM
3

2
2
HM在Rt△HNM’中，NM’cos30°1，
即ON1；
③当M’OONOM3，
A
N
M
P
O
M
B
此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在
故答案为：1或3
例2（2017蜀山区期末）如图所示，△ABC中，∠ACB90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A
落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三
角形，则∠B

【分析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CDCF，△BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当DEBD时，设∠Bx°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x45；②当BDBE时，作出图形，设∠Bx°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x30；
5
f③当BEDE时，得r