2015年第七届预赛（非数学类）参考答案
一、每小题6分，共计30分。π2si
si
πsi
πL21极限lim
22
2

1
→∞2π
。
isi
π1
i
si
π≤∑≤∑si
π而解：由于∑i
1i1
i1
i1
1

i


lim
π
i11
i
si
πlimsi
π∑∑
→∞
1
→∞
1π

πi1i11
i1π
i1si
πlimsi
π∑∑
→∞
→∞
π
i1
πi1
π
∫
π
0
si
xdx
2
2，π
lim
∫
π
0
si
xdx
π
。
所以所求极限是2
（2）设函数zzxy由方程Fx
zzy0所决定，其中Fuv具有连续偏导yxzxy
。（本小题结果要求不显含F及其
数，且xFuyFv≠0。则x偏导数）解：方程对x求导，得到
zzyxy
1z1zzF1F0uv2xxxyx
即x
zyzFvx2Fu。xxFuyFvzxzFuy2Fv。yxFuyFv
同样，方程对y求导，得到y
于是x
zzzxFuyFvxyxFuyFvyzxyxyxFuyFv
（3）曲面zx2y21在点M113的切平面与曲面zx2y2所围区域的体积为
π2
。
f解：曲面zx2y21在点M113的切平面：2x12y1z30，即z2x2y1。联立
zx2y2z2x2y1
2
，
得到所围区域的投影D为：x1y1≤1。
2
所求体积V
∫∫2x2y1x
D
2
y2dxdy∫∫1x12y12dxdy
D
令
2π1x1rcostπ，V∫dt∫1r2rdr。002y1rsi
t
（4）函数fx
3x∈50在55的傅立叶级数在x0收敛的值0x∈05
32。
解：由傅里叶收敛定理，易知f032（5）设区间0∞上的函数ux定义为ux
∫
∞0
extdt，则ux的初等函数表达式为
2
π。2x
解由于u2x
∫
∞
0
extdt∫
2
∞
0
exsds
2
∫∫
s≥0t≥0
exs
2
t2
dsdt故有
u2x∫
所以ux
π2
0
d∫exρρdρ
2
∞
0
π4x
∫
∞xρ2
0
e
dρxρ2
πxρ2e4x
ρ∞ρ0

π。4x
π。2x
二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。解：显然，O000为M的顶点，A100B010C001在M上。由ABC三点决定的平面xyz1与球面x2y2z21的交线L是M的准线。4分设Pxyz是M上的点，r